[數論] p-adic Numbers (p進數)

參考資料
A first introduction to p-adic numbers http://www.madore.org/~david/math/padics.pdf
Complete Metric Spaces http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~lwicharn/2301631/Complete.pdf

一段關於 $p$-adic 的說明影片，片長約17分鐘。

◎ $p$-adic digit
$p$-adic 的 $p$ 是 prime 的意思。我們稱一個介於 $0$ 到 $p-1$ 的整數為 $p$-adic digit。

◎ $p$-adic integer
一個 $p$-adic integer 是指一個由 $p$-adic digit 組成的序列(sequence) $\left ( a_i \right )_{i\in \mathbb{N}}$。可寫成$$\cdots a_i\cdots a_2a_1a_0$$或寫成$$a=\sum_{i=i_0}^{\infty }a_i\cdot p^i.$$
◎ $p$-adic number
一個 $p$-adic integer 是指一個由 $p$-adic digit 組成的序列(sequence) $\left ( a_i \right )_{i\in \mathbb{Z}}$，或寫成$$a=\sum_{i=0}^{\infty }a_i\cdot p^i,\: \; a_i\in \left \{ 0,1,2,\cdots ,p-1 \right \}$$如果一個 $p$-adic number $a$，對於 $i<0$，$a_i=0$，則我們特別稱 $a$ 為 $p$-adic integer。(可以回上一段看 $p$-adic integer 的定義。)

$p$-adic integers 構成一個 ring: $\mathbb{Z}_p$；$p$-adic numbers 構成一個 field: $\mathbb{Q}_p$。

◎ $p$-adic norm ($p$-adic absolute value)
一般在沒有特地說明之下，我們稱的距離就是歐式距離(Euclidean distance)，也就是「$m$ 維空間中、兩個點之間的真實距離。」例如在數線(一維空間)上有兩點 $a$ 和 $b$，我們會說 $a$ 和 $b$ 的距離是 $\left | a-b \right |$，亦即兩數之差的絕對值。

$p$-adic 的「距離」概念建立在整數的整除性質上。給定一質數 $p$，若兩個數之差能被 $p$ 的高次冪整除，那麼這兩個數距離就「接近」。冪次越高，距離越近。

給定一個非零的有理數 $x$，我們可以把 $x$ 表示為$$x=p^a\cdot \frac{r}{s}$$其中 $p$ 是質數，$p$、$r$、$s$ 三數彼此互質。則我們定義 $x$ 的 $p$-adic norm(或是 $x$ 的 $p$-adic absolute value)為$$\left | x \right |_p=p^{-a}.$$我們也定義$$\left | 0 \right |_p=0.$$例如給定一有理數 $x=\frac{968}{9}$ 及一質數 $p=11$，則 $\frac{968}{9}$ 的 $11$-adic norm 為$$\left | x \right |_p=\left | \frac{968}{9} \right |_{11}=\left | 11^2\cdot \frac{8}{9} \right |_{11}=11^{-2}.$$有了 $p$-adic norm，我們就能定義何謂 $p$-adic 的「距離」（數學上稱距離為「度量」），也就是 $p$-adic metric($p$進度量)。

◎ $p$-adic metric
我們將兩個數 $x$ 和 $y$ 的 $p$-adic metric 寫為 $d(x,y)=\left | x-y \right |_p$。例如取 $p=7$，則 $2$ 和 $28814$ 的 $7$-acid metric 為$$\left | 28814-2 \right |_7=\left | 28812 \right |_7=\left | 7^4\cdot 13 \right |_7=7^{-4}.$$◎實數的完備性(Completeness)
我們知道，有理數是不具備完備性的。例如給定一條數線，若我們限定只能標示有理數，則很遺憾地，我們永遠無法指出 $\sqrt{2}$ 的位置，理由是 $\sqrt{2}$ 是無理數。

如果一個空間中的任何柯西序列(Cauchy sequence)，都收斂在該空間之內，我們稱此空間是「完備度量空間(Complete Metric Spaces)」。關於柯西序列，這裡不多作討論，簡單來說，就是如果有一個數列，我們任取一個正數，你總是能在這個數列中找到某兩項，使其兩項之差的絕對值，永遠小於這個正數，我們稱具有此性質的數列為柯西序列。

因此對於 matric $d(x,y)=\left | x-y \right |_p$，$a=\sum_{i=i_0}^{\infty }a_ip^i$ 的部份和(partial sums)會趨近於 $a$。